آموزش ریاضی توسط استاد صدیقه حافظی

1. نامساوی هولدر را در بیان و اثبان کنید.

2. نشان دهید که یک متریک روی است.

آ : گوی باز به مرکز 2 و شعاع را در مشخص کنید .

ب : آیا کراندار است؟ کامل است ؟ تفکیک پذیر است؟ فشرده است ؟

( با ذکر دلیل ).

3. نشان دهید که شرط لازم و کافی برای باز بودن G در فضای X آن است که به ازای هر مجموعه ی دلخواه A در X ، .

4. به ازای هر دو مجموعه ی فشرده A و B در نشان دهید که مجموعه ی نیز فشرده است.

5. نشان دهید که هر فضای متریک با خاصیت فشردگی دنباله ای دارای خاصیت فشردگی شماراست.

1. نامساوی های هولدر و مینسکی را در بیان کنید و یکی را به دلخواه اثبات کنید.

۲. i – مجموعه ی باز را در یک فضای متریک تعریف کنید.

ii - نشان دهید شرط لازم و کافی برای آنکه G در فضای متریک X باز باشد آن است که برای هر مجموعه ی A در X ، .

iii – نشان دهید که اگرG و A در X چگال باشند و G باز باشد آنگاه نیز چگال است. با مثالی نشان دهید که شرط باز بودن G اساسی است.

۳. مجموعه ی کراندار را در یک فضای متریک تعریف کنید. سپس نشان دهید که شرط لازم و کافی برای آنکه مجموعه ی A در فضای متریک کراندار باشد آن است که M>0 موجود باشد بطوری که برای هر .

1. همه ی ریشه های معادله ی را محاسبه کنید .

2. اگر دو عدد مختلط باشند نشان دهید

آیا تساوی فوق برای حالت Arg نیز برقرار است؟ چرا ؟

3. فرض کنید معین کنید کجا موجود است، مقدارش را به دست آورید.

4. نشان دهید معادلات کوشی – ریمان در مختصات قطبی به صورت بوده و فرمول محاسبه ی مشتق را در مختصات قطبی نتیجه بگیرید.

A group   is a finite or infinite set of elements together with a binary operation (called the group operation) that together satisfy the four fundamental properties of closure, associativity, the identity property, and the inverse property. The operation with respect to which a group is defined is often called the "group operation," and a set is said to be a group "under" this operation. Elements , , , . with binary operation between and denoted form a group if

1. Closure: If and are two elements in , then the product is also in .

2. Associativity: The defined multiplication is associative, i.e., for all , .

3. Identity: There is an identity element (a.k.a. 1, , or ) such that for every element .

4. Inverse: There must be an inverse (a.k.a. reciprocal) of each element. Therefore, for each element of , the set contains an element such that .

برای ادامه خواص گروه ها روی ادامه مطلب کلیک کنید.

.

Integers, rationals and reals

• The integers under addition form a group. The identity element of the group is , and the additive inverse is just the usual negative. In fact, the group of integers is an Abelian group: addition is commutative for integers.
• The rational numbers under addition form a group. The identity element of the group is , and the additive inverse is just the usual negative. This group is Abelian, and the integers form a subgroup.
• The real numbers also form a group under addition. The rational numbers form a subgroup of the group of real numbers, and the integers form a smaller subgroup.
• The nonzero rational numbers under multiplication form a group. The identity element for this group is . This group is also Abelian.

More generally, given any field, the field is a group under addition, and the nonzero elements of the field form a group under multiplication.

Some non-examples of groups are:

• The natural numbers under addition: There is no additive identity and there are no additive inverses.
• The nonzero integers under multiplication: The nonzero integers under multiplication have a multiplicative identity (namely ). Hence, they form a monoid. But not every nonzero integer has an integer as its multiplicative inverse. In fact, the only invertible elements are .

برای ادامه مثال ها روی ادامه مطلب کلیک کنید.

یک چیستان جالب ریاضی همراه با پاسخ تشریحی

در یک جنگ ۱۰۰ سرباز شرکت کردند و جراحاتی برداشتند. آمار جراحات به شرح زیراست:
۷۰ نفر دست راستشان را از دست دادند
۷۵ نفر دست چپشان را از دست دادند